可能性

第14讲   可能性

主讲：佟  辉    中学高级教师       上海师资培训中心实验基地 

      单  方    小学高级教师       上海市黄浦区蓬莱路第二小学(字幕) 

佟：各位老师大家好！今天我们讲的课题是可能性。

在信息社会，人们处处面临着大量信息和数据，常常需要在不确定情景中，根据大量无组织的数据，作出合理的决策，如，购买彩票、降雨概率、买卖股票的收益、统计部门大量的数据统计及决策等．概率与统计正是通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对不确定现象和事件发生可能性的刻画，来为人们更好地制定决策提供依据和建议。因此，概率统计的基础内容是一个公民必备的知识，是构成学生素质的重要组成部分。

单：在教育部颁布的数学课程标准（实验稿）中，第一次将有关概率的知识纳入小学数学教学中，因此如何帮助学生理解有关概念成为了广大教师的关注点。首先我们来对有关概率方面的知识进行简单的了解。

佟：数学课程中的概率统计内容，要求在具体情境中感觉某些现象的随机性，并用“数”来标志事件发生“可能性”的大小，这就是概率。它是推断统计学的基础。小学数学中的概率，有两种定义方法。

(出示幻灯片)

佟：一种是理论概率，另一种是实验概率。理论概率就是指许多随机现象，可以从理论上进行分析，对相应的事件指定一个合理的概率，来表示该事件发生的可能性的大小。（PPT）比如说抛一枚硬币，讨论正面向上或向下的随机性现象，他们发生的可能性是相等的，于是确定他们发生的概率各为1/2。再如，一个圆盘平均分成n个扇形，那么转动指针，指针落在某个区域的可能性都一样，于是确定他们发生的概率各为1/n。如果划分的这些扇形的面积大小不同，那么落在某个扇形内的概率就和该扇形在整个圆中所占的面积比例有关。这是我们从理论上分析之后规定的，所以都是理论概率。

有些随机事件的概率不能通过理论分析的方法来得到，而是需要大量重复试验做出来的，这类概念就称为实验概率。（PPT）

(结束幻灯片)

单：例如通常所说的“明天的降水概率是80%”，我们是根据过去大量的气象数据进行统计推断出来的，并不是等可能性问题。随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的次数与总的实验次数之比，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性，我们就把这个固定数称之为这一事件的概率。也就是说，这类概率是通过大量实验做出来的。

佟：在小学数学的有关概率知识的教学中，我们常常结合这两种定义进行教学。例如抛一枚硬币，讨论正面向上还是反面向上的随机性现象，我们可以进行实验。我们先来看一张表

(出示幻灯片)

一些数学家进行了抛硬币试验，抛2048次，正面向上的次数为1061次，正面向上的次数与抛掷硬币的次数之比为0.5181；抛4040次，正面向上的次数为2048次，比值为0.5069；抛12000次，正面向上的次数为6019次，比值为0.5016；抛24000次，正面向上的次数为12012次，比值为0.5005；

于是可以看出，试验的次数越多，比值越接近0.5。也就是说，正面向上和反面向上的可能性是一样的。而理论概率也认为正面向上和反面向上的出现的可能性是一样的，由此，建立实验概率与理论概率的连接。

(结束幻灯片)

单：在小学阶段，对有关概率内容的教学要求，主要希望学生(出示幻灯片) 1、初步体验有些事件的发生是确定的，有些事件的发生是不确定的。2、能列出简单试验所有可能发生的结果。3、知道事件发生的可能性是有大小的。4、体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件的可能性。

(结束幻灯片) 

单：下面，我们就分几个部分对课堂中如何实施可能性教学进行简单的介绍。

佟：首先我们来讨论如何对事件发生的可能性进行教学。最新的儿童心理研究表明7-10岁的儿童能够了解「可能」和「一定」的含义能分辨因果及纯粹机会的事件。在对儿童进行事件发生的可能性的教学时，要强调学生的生活经验，从儿童可能性的经验入手，学生没有经验时，教师可以设计一些试验，通过具体的操作活动使学生具备相关的经验。要注意学生过去的经验和已有的知识是判断可能性的基础。下面我们看一个教学片段。

 案例14-1（上海黄浦区蓬莱路第二小学  单 方）（字幕）

单：从这一教学片段中，我们可以看出学生往往是根据自己的知识经验来判断事件发生的可能性。当学生判断“未来事件发生的可能性”时，也是根据“以往的经验中发生的情况”和已有的知识来预测，并不是主观地进行判断。教师还可以有意识地寻找一些带有感情色彩的事件让学生来判断其发生的确定性和不确定性，让学生认识到某一客观现象发生的确定性和不确定性与个人的愿望是无关的。

佟：对于未来事件发生的可能性判断，是研究不确定事件发生规律的基础。因此我们首先要探讨事件发生的可能性。在此基础上，再探讨可能性的大小。下面我们就如何开展可能性的大小的教学进行简单的讨论。小学阶段可能性大小的学习一般是先通过进行掷硬币、摸彩球、掷骰子等活动，让学生进行多次的实验并将实验的结果进行统计，通过具体的操作活动，认识事件发生的可能性大小相同。我们来看一个教学片段。

案例14-2（上海黄浦区蓬莱路第二小学  单 方）（字幕）

佟：根据研究表明： 7至11岁的学生能以具体的操作了解概率的概念。因此在进行可能性教学时，应该提供真实的情境及具体的操作实验，透过熟悉的情境来发展概念。但概率教学中的实验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，仅仅靠课堂上几十个同学用几分钟做试验，有时成功，有时会离开理论概率很远，不能获得满意的效果。此时，我们可以借用现代手段，象在教学片段中展示的那样，通过使用多媒体课件呈现投掷几千几万次的情景，由此使学生接受每个点数出现的可能性是一样的这一概念。

单：佟老师，我曾碰到一位老师，他跟我谈到了他在在教学可能性时遇到的一个情况，有一个学生抛了10次，其中正面向上出现了7次，反面向上出现了3次。这位学生就对老师说：“老师，您说的不对，正面向上出现的可能性和反面向上的可能性应该是一样的，我抛了10次硬币，怎么正面向上出现了7次，反面向上出现了3次，是不一样的？”这个老师听到后，当时这样处理的。他对学生说：“要不这样吧，你回家再接着抛抛看。”没想到这位学生回家以后，真的这样去做实验了。他和家长一起，做了近一千次的实验，且认真做了纪录，在做记录的过程中，这个学生就发现随着投掷次数的增加，正面向上出现的可能性和反面向上出现的可能性就越来越接近。这个老师第二天到学校以后碰到这个学生，学生对他说：“老师，您是对的。”从这个情景当中，我感到这个老师有一点是非常可取的，他就是注重让学生来亲身的体验，在实际的自主探究操作过程当中，来获得正确的结果。

佟：这个老师这样做挺好的。在学生建立了可能性大小相等的概念以后，我们可以通过进行抛硬币、摸彩球、掷骰子等具体活动，体会事件发生的可能性是有大小的。

比如采用摸彩球的活动：一个箱子装有七个白球和三个红球。从箱子中任意抽出一球，抽到白球的可能性大还是抽到红球的可能性大呢？可以先让学生进行猜测，在猜测的基础上，通过具体的实验，用白球和红球出现的次数相比较，来判断白球抽到的可能性大还是红球被抽到的可能性大。也可以使用多媒体课件来代替具体的摸球活动。

播放FLASH课件

佟：大家看，这是一个简单的课件。在这个口袋里装有10个球。这10个球分别是7个白色的球和3个红色的球。我们可以利用多媒体课件进行摸球的实际的模仿。在利用多媒体摸球的同时，让学生纪录摸到红球或白球的次数，通过一定次数的演示，让学生根据统计的结果得出结论。这个课件中，将十个球分别标上1~10这十个数字，目的就是为从理论上解释结果做准备。也就是说每个球被抽出的可能性相同，而白球有7个，红球有3个，所以抽到白球的可能性大。

结束FLASH课件

单：有研究表明，在小学有关可能性大小的教学内容中，教学的难点是用分数表示可能性的大小。这有两个原因，第一，很多教材在介绍可能性的大小时，还没有讲到比的概念，而比的概念对学生用分数表示可能性的大小是必不可少的。

第二，多数学生的认知发展水平还没有发展到能理解用分数表示可能性大小的水平。

我们举例说，对于掷一个骰子，1-6点出现的可能性相等，均为六分之一，这一点学生还是能够接受的。因为，我们是先讨论出现1-6点的可能性大小相同，然后再讲每种出现的可能性都是六分之一。对于这种在同一个样本空间中讨论的可能性大小问题，学生是可以理解的。但是，对于不同样本空间的事件的可能性大小比较，由于学生所学知识的局限和认知水平的制约，就不容易理解。比如，一个袋子里有3个红球、2个白球，另一个袋子里有6个红球、4个白球，问：哪个袋子中摸出红球的可能性更大？这时相当部分的学生可能会认为有6个红球的袋子中摸出红球的可能性更大。因为他们是从袋中的球数来判断，而不是从比值的概念。而这题的正确答案是两个袋子取出红球的可能性是一样的。

佟：我想到一个案例。一位老师在教学过程中发现，有一名学生相信如果连续投掷四次硬币，依次出现「正反反正」的可能性比依次出现「正正正反」的可能性大，这个学生认为这样才能够显示出来出现正面的概率和出现反面的概率是相等的。如何帮助学生克服这种错误概念？这位教师提示学生可以借助树状图等工具，利用树状图将可能出现的16种情况有条理、无重复、无遗漏地列举出来，再通过列举的结果就可以看出实际上这两种情况出现的可能性是一样的。

单：还有这么个案例。有一个学生他投掷了5次硬币，结果这5次都是正面朝上，当这个学生在投掷第6次的时候，他这么断定：第六次一定是反面朝上！因为他是这样想的：正面朝上和反面向上的可能性是一样的，前5次都是正面朝上，那么第6次一定是反面向上。另一个学生在投掷前5次的过程当中，没有出现反面向上的情况，第6次也不会出现反面向上的情况。

佟：你认为为什么会学生这样想？

单：实际上，这种情况是因为学生都忽略了“每次投掷都是独立事件”这个本质。他们在投掷第六次的时候，都把前5次的结果联系起来了。考虑了前5次投掷情况。其实这时候教师可以反问学生“硬币有记忆力吗？它会记得前次试验的结果来影响到它的后次实验吗？”经此一问，学生就会发现，实际上硬币是没有记忆力的，它的前次试验和后次试验是独立的，没有任何联系。我想，可以通过提问的方式来刺激学生对于问题的思考，对概率这个问题的更深入的思辨，从而来寻求正确的思考过程。

佟：为了进一步理解有关可能性的大小，我们还可以借助判断游戏是否公平的活动，帮助学生进一步理解可能性。下面我们来看一下有关这方面教学的片断。

案例14-3（上海市闵行区实验小学  毕明芳）（字幕）

佟：这个教学片断，从学生的认知特点出发，设计了一系列的活动，引导学生在活动中主动思考并积极交流，获得对知识的体验和感悟。从教学片段中可以看到，通过对“为什么6人小组选择正方体而不选择长方体？为什么7人小组、5人小组不选择6等分的转盘”的讨论、引导学生从可能性的大小是否相同的角度进一步感悟、认识到什么是公平的，什么是不公平的。而用7名男生和11名女生通过“击鼓传花”来确定谁来表演节目的活动，让学生根据花落到每个人手里的可能性都是1/18，得出男生表演的可能性是7/18,女生表演的可能性是11/18。使学生能够根据部分与整体的关系，得出用分数来表示可能性的大小。

上述的教学片段，仅仅是为了向各位老师介绍如何帮助学生理解有关可能性的知识，希望能够对各位老师提供一些启发。（插入思考题作业：抛一枚硬币，抛10次，硬币正面朝上的次数是5次，抛20次，硬币正面朝上的次数是8次，抛50次，硬币正面朝上的次数是18次。这种情况有可能发生吗？如果你在课堂教学中遇到这样的情况发生，你会怎样做?以使学生理解抛硬币正反面出现的可能性是相同的？）今天我们的课就讲到这里。谢谢大家。

齐：老师们再见！