谈图形与位置的教学

第13讲  谈图形与位置的教学

主讲：李新  数学特级教师  江苏省吴江市实验小学

      王丹  中学高级教师  重庆市渝中区第二实验小学

李：各位老师，大家好，在这一讲里，我们将和大家一起交流有关图形与位置的教学。

王：有的老师认为，图形与位置中的有些内容，科学课、品德与生活课中也有，那么在数学课中学习这些知识在什么地方不同于其他学科呢？怎么处理与其他学科相应内容学习之间的关系呢？

李：学习《课程标准》中关于“图形与位置”的内容标准，我觉得小学数学中学生学习“确定位置”，有两条线索。

一是从学习用类似第几排第几个的方式确定具体情境中一些物体的位置，逐步发展到用数对来确定位置；

二是从学习用方位词或方向词描绘物体的相对位置或方向，到结合比例尺来绘制并描述简单的路线图。

这两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。

王：就是说，这两条线索并行发展，使学生充分经历了从生活情境到数学模型的探索过程，为后续学习比如说坐标知识的学习奠定了基础，也发展了学生的空间观念。

李：是的，小学数学中有关图形与位置的知识，比较系统，知识发生与发展的脉络清晰，目标也相当具有数学的味道，比如发展学生的空间观念。

王：我也是这样认为的，同一个内容，在不同学科，其刻画的角度是不同的，学生在不同学科中学习同一个内容，有时能起到相辅相成的作用，加深对这一内容的认识。

李：在这方面，我听到过这样一个例子。有二年级学生初学认识方向，一些老师就借用以前在语文课中学过的一篇课文来引入：早晨起床，面向太阳。前边是东，后边是西；左边是北，右边是南。

王：另外，数学课中学习确定位置，认识方向，与科学课、品德与生活课最大的不同是用数学语言来思考和表达。正像刚才我们讨论的，数学课上学习这方面的知识更系统、更广泛、更深刻，更有利于培养学生的空间观念与思维能力，也为学生的后续数学学习服务。

李：我非常赞同您的观点。以用类似第几排第几个这样的方法来确定位置为例，生活中用这种方法确定位置是十分常见的。数学教学这部分内容，就要使学生从这些常见的生活用语中找出共同的特点，研究相同的表达规律，体会在平面上确定一个物体的位置，必须要从两个维度来刻画，从而初步形成类似于平面坐标这样的数学模型。

王：所以我们在教学中就应该大量选取这样的素材：如在做操方队中确定某个动物的位置、在电影院里找座位、在书架上找书、在一幢楼房中找某个房间的位置等等。这些空间情境都是学生熟悉的、感兴趣的和现实的，能引导学生利用已有的生活经验或常识，进行充分地观察、操作、判断和交流，在内容丰富的活动中体验有关位置的知识。

李：这一内容的教学，我听到过这样一堂课，其中有两个细节，可供大家参考。一是在引入用两个“第几”确定位置时，老师联系了一年级时学生学习“几和第几”的知识，如若干个小朋友排成一行，其中某个小朋友是从左往右（或从前往后）数的第几个。在这种情况下，用一个“第几”就可以确定位置。而今天要在做操方队中确定某个动物的位置，用一个“第几”就不行，就必须用两个“第几”。第二个细节，在课的结尾，老师给学生呈现了用很多个小正方体搭成的大立方体，让学生说一说涂色的小方块的位置。两个细节，使得学生对确定位置的认识从一维到两维再到三维，逐步拓展，也进一步发展了空间观念。

王：是的，用第几排第几个等说法来确定位置，在生活中很常用，可以说这样的表达很有生活味，而其后的发展，用数对来确定位置，又很有数学味。实际教学中，我们怎样做才能恰当处理两者的衔接，从生活味到数学味，使学生充分经历数学化的过程，既把有关的数学基础知识学习好，又能充分发展学生的数学思考呢？

李：数学课应该有浓浓的数学味。数学味是一种比较感性的、口语化的表述。

数学课堂中的数学味，其本质应该是努力引导学生用数学的视角去观察，用数学的语言去表达，用数学的思维去研究、用数学的方法去解决问题。

通过这种方式，不断地促进学生对已有认知结构进行完善和重组，以实现对数学基础结构的同化或顺应，包括知识、方法、价值观等，并促进人的心智发展，最终获得科学的态度，严谨的思维，以及解决问题的方法。

这其实正是您刚才所说的“让学生充分经历数学化的过程”的意思。让学生充分经历数学化的过程，不单在图形与位置的教学中要落实，在其他内容的教学中也应一以贯之。回到刚才的问题，从“第几排第几个”到“数对”，怎样很好的统一，让前者成为后者的基础，后者成为前者的发展，使学生充分经历数学化的过程， 让我们一起看一段录象。

案例13-1《用数对确定位置》①（江苏省镇江实验小学  张瑾）

【乙】刚才的课是五年级下册“确定位置”的第一课时，主要任务是使学生在具体的情境中认识列、行的含义，知道确定第几列、第几行的规则，初步理解数对的含义，会用数对表示方格图上点的位置。这部分内容是在学生学习了用“第几”描述物体在某个方向上的位置，以及用“两个第几”描述物体在现实空间里的位置的基础上进行安排的，是原有知识的进一步抽象和提升，也是学生在第三学段学习平面直角坐标的重要基础。刚才老师的课比较清晰地展示了教师引导学生由原来凭生活经验描述位置上升到用数学方法确定位置的过程。

李：首先老师成功地激发了学生要规范地确定位置的需要。老师创设了很好的情境引入新课，贴近学生的生活实际。原来教材中呈现的是教室里有序排列的座位这一场景，并提出了小军坐在哪里的问题。老师创设了这样的教学情境，让学生借助以往确定位置的经验对这类问题进行思考、交流，使学生感到同一个位置有不同的描述方法，即没有确定性，从而产生统一确定位置的规则的需要。

王：需要产生了，那么如何使学生真正理解并掌握这一规则呢？我们继续看实录片段吧。

案例13-2《用数对确定位置》②（江苏省镇江实验小学  张瑾）

李：在刚才这个片段中，接着教学“列”“行”的知识，因为数对是按列与行确定位置的。竖排叫做列，横排叫做行都是规定。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数，都是人们的约定。正是因为这些规定和约定，人们在确定位置时才有一致的思考和结论，才能避免引起争议和混乱。因此，教学列、行的知识绝不能含糊。

王：老师采用的教学方式是精到的讲解、简洁的板书以及在实际情境中组织学生充分交流。比如老师在向学生讲清列、行的含义以及确定第几列、第几行的规则的同时，引导学生把实际场景图抽象为圆圈图，并在圆圈图上反复描述学生的位置，使学生对列、行的认识以及规则的确定逐步上升到理性认识，也为学生进一步学习在方格图上确定位置打下了基础。

李：接着，应该是本课的真正主角——“数对”出场了。我们继续往下看录象。既然已经统一了确定位置的规则，每个同学的位置都可以用第几列第几行来表示，那么是否有更加简洁、更加方便的表示方法呢？方法就在独立思考、合作交流、比较分析中得到了优化，“数对”的出现水到渠成。

王：而教师关于数对（4，3）的讲解，起码包含了三层意思。

关于数对包含了三层意思

一是“数对”指两个数，即列数与行数。

二是在数对中先表示第几列，再表示第几行。这个顺序不能颠倒，它和直角坐标系中确定点的位置，先写出x轴上的数量，再写出y轴上的数量的次序是一致的，不会和中学里的数学知识发生矛盾。

三是用数对确定位置有规定的书写格式和相应的读法（字幕按顺序出），

书写时要用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号，把两个数隔开，读的时候，只要顺次读出两个数就可以了。

李：还需要明确的是，任何新知识的掌握，都要经过一定的练习。本课中进行的练习也是形式多样的：既有巩固数对含义的练习，又有理解用数对确定位置的练习；既有强化列、行的练习，又有区分列、行，体会顺序的练习。同时要注意练习题所依托情境的现实性、新颖性和趣味性。通过练习，引导学生逐步掌握用数对确定位置的方法，进一步把握平面上数对的含义。

王：节目开始时，你谈到小学数学里学习确定位置有两条线索，刚才我们谈论的是其中一条。那么另一条线索的一些内容在教学时又要注意些什么呢？

李：另一条线索主要有这样一些内容，先学习用上、下，左、右，前、后描述物体的相对位置，再学习给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，辨认其余三个方向，在此基础上，继续学习东北、西北、东南、西南四个方向，能用这些词语描绘物体所在的方向。以上内容是在第一学段学习的。到第二学段，要学习比例尺，在具体情境中，会按给定的比例尺进行图上距离和实际距离的换算，有比例尺的知识作基础，就能学习根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置，学习描绘、描述简单的路线图。可以看出，这一条线索所包含的学习内容，对学生的空间感觉（要求）更高，知识应用的综合性要求也更强。因此，在这一内容的教学中要注意引导学生充分利用已有的知识和生活经验，把自主探索和有意义（接受）学习两种学习方式有机结合，使学生逐步体会确定位置的规则的合理性，不断丰富确定位置的方法。

王：在第一学段中，主要学习根据方向来确定位置，到第二学段，要学习根据方向与距离两个方面确定物体所在的位置。学习这一内容，既要联系已有的方向经验，又要应用度量角和画角的方法，以及比例尺的知识，来进一步了解方向、体会距离，发展空间观念。可以看出，这个内容的学习涉及的知识、技能比较多，教学是有一定的难度的。

【甲】接下来，我们一起看几段录象。在录象课中，老师采用“层层递进，步步为营”的教学策略，在原有方向知识的基础上首先建立“什么方向偏什么方向”的概念，再陆续添上偏什么方向的度数和相应的距离，突出“知道了物体的方向和距离，就能确定位置”这一思想方法。我们首先来看第一段。

案例13-3《根据方向和距离确定位置》①（江苏省吴江市同里实验小学凌建青）

李：在这一段中，老师先出示轮船向正北方向航行的情境图，让学生看出图中的灯塔1在轮船的东北方向，灯塔2在轮船的西北方向，激活已有的方向经验，随即揭示了北偏东和北偏西两个知识。

王：接着，教师安排了一系列的练习：先让学生听一段台风报道的录音，使学生感受这种“什么方向偏什么方向”的说法在生活中的应用；再让学生逆向思考“小岛在轮船的什么方向偏什么方向”，进而迁移、概括出“什么方向偏什么方向”的说法的共同点：总是以北或南两个方向词开头；随即，安排了针对性练习，让学生在新的情境中运用刚学到的四个新的方向词，为下一步学习夯实基础。

李：那老师怎样又安排下一步的学习呢？我们接着看录象。

案例13-4《根据方向和距离确定位置》②（江苏省吴江市同里实验小学凌建青）

李：这一段中，老师设计了一个射击游戏，不断激发学生的认知冲突：第一次按照北偏西方向射击，没有射中，使学生领悟到仅仅定性化的说明“北偏西”仍然不能确定位置，还需要定量化，即用角度来描述；第二次按照北偏西45度方向射击，还是没有射中，使学生领悟到方向正确了，还要有正确的距离，才能确定位置。最后让学生讨论“第三次为什么能射中”，回顾刚才的学习过程，提炼认识，使学生明白要确定物体的位置必须同时知道方向、角度和距离，从而突破教学难点。

王：我也觉得这个射击游戏设计十分巧妙，既将关键的数学知识有机地、有层次地融合，又充分调动学生的积极性。因为学生都十分希望能射中目标，但是前两次射击由于考虑不周，都没能射中，于是主动反思，是什么原因不能射中目标呢？这一游戏情境对于学生思维的激发、学习过程的推动都是非常有效的。

李：游戏过后是练习。老师让学生将刚才在情境中、游戏中所获得的知识和活动经验，综合应用在问题解决中：“以轮船为观测点，要测定灯塔1的位置，需要测量哪些条件？”在教师的引导下，通过测量、计算、讨论，得出结论：“灯塔1在轮船的北偏东30度方向6千米处”，提高了学生对这个问题认识的理性程度，使学生空间感得到增强，获得了问题解决后的成功感。接着，老师让学生确定灯塔2的位置，则又是在新的认识高度上进行的巩固练习。

王：总的感觉，对教材的深刻理解与准确把握、对学生心理的洞察与引导，教学设计时清晰的思路、丰厚的层次都是本课成功的重要保证。

李：总之，通过对两个案例的讨论，我们进一步明确了，

图形与位置教学的基本目标有两点：

一、图形与位置的内容是发展学生空间观念的良好载体。学生学习这一内容，就是要发展空间观念；二、图形与位置的学习内容，正好对应了以后学习坐标的一些知识，从小学开始，就渗透这方面的知识，无疑是十分重要的奠基工作。

作业:

1.小学数学中“图形与位置”的教学有哪两条基本线索？分别包含哪些内容？
2.请选择其中一个内容，做一份教学设计。

这一讲的交流就到这里，谢谢大家，再见。