平均数

第15讲    平均数

主讲：佟  辉    中学高级教师     上海师资培训中心实验基地

单  方    小学高级教师     上海市黄浦区蓬莱路第二小学（字幕）

佟：各位老师，大家好。上一讲，我们对可能性的教学进行了简单地讨论。这一讲，我们继续讨论的课题是“平均数”。

单：平均数是小学数学中的一块教学内容。属于“统计与概率”领域。在教育部颁布的数学课程标准（实验稿）中，将“统计与概率”列为与“数与代数”、“空间与图形”、“综合实践与应用”并列的领域。应该说，这块教学内容非常的重要。

佟：的确如此，虽然随着科学技术的日益发展，我们对很多现象的规律已经掌握，但我们仍然对于很多现象的认识十分缺乏，不得不从众多的数据中收集、整理、描述、分析与解释，并作为判断与做决定的参考。

（出示幻灯片）

佟：统计学就是论述收集、分析和解释数字信息的科学。是一门为了说明所研究对[改为：现]象的某种数量特征和规律性而收集数据、表现数据、分析数据、解释数据，从而认识数量规律的方法论科学。

佟：统计学可以分为两个部分：一个是描述统计学，一个是推断统计学。描述统计研究如何对客观现象的数量特征进行计量、观察、概括和表述，它包括收集、整理、概括、描述及给出数据信息。一般用统计表和统计图表示，有时也用统计量，比如平均值、方差等来描述。我们要注意的是：描述统计就是对已有数据进行分析解释，不进行推测。而推断统计是根据数据所提供的总体的一部分我们称为样本的信息，对数据来自的总体的性质作推断。

（幻灯片结束）

单：平均数主要包括算术平均数、几何平均数和调和平均数。我们小学阶段说的平均数实际上是指算术平均数。算术平均数是平均数的一种，是一个描述一组数据集中趋势的统计量，是描述统计学中的一个最常用、最重要的统计量之一，也是推断统计学中的最重要的度量之一。

佟：下面我们就通过几个教学片段来看如何帮助学生认识平均数。

案例15-1（上海黄浦区蓬莱路第二小学  单 方）（字幕）

佟：单老师，这个引入你是怎么想的？

单：数学来源于生活实际，创设学生比较熟悉的常规口算这样一个情境，很容易激发学生的求知欲，激活学生的已有知识和经验。使学生认识到：一个同学算的多并不能代表一组算的最好。在人数不同的情况下，总和最多也不能代表这一组算的最好。通过求平均数就能够科学地、公正地评出比赛冠军。从而，对平均数的现实意义有所认识，也理解平均数概念存在的必要性。

佟：近年来，统计教学已经开始朝向更实际、更以资料为导向的趋势发展，它更重视针对实际资料进行探索来了解现象。

强调以学生生活所见或者是生活经验中的「真实资料」来学习统计概念，从生活中常见的[生]（删除）「真实数据」来进行初步的教学活动，从情境中寻找资料来解决问题。

要以学生的生活经验为主，从学生感兴趣的主题出发，通过具体的操作活动，培养学生有关统计的初步概念，并能正确地使用它。

单：像这样能够体现平均数存在必要性的例子还有很多。我们教师可以根据自己的实际情况选择。比如说：

（出示幻灯片） 

2005年十一黄金周期间，上海两个机场7天里进出港航班大约有7210架次，2006年春运期间，40天里上海两个机场进出港航班大约有42440架次。问：上海两个机场2005年“十一”黄金周繁忙还是2006年春运繁忙？我们就要分别计算出十一期间和春运期间平均每天进出港的航班，通过平均值来进行比较。

再如A栏和B栏哪个栏的奶牛产奶量高？我们来看一下具体数据。我们也必须通过分别计算A栏牛和B栏牛的平均产奶量来进行比较。

（幻灯片结束）

佟：以前在教学“平均数”的概念时，教师往往把教学重点放在平均数的含义和求法上，而对平均数在统计学上的意义和作用很少提及。关于平均数，重要的不是它的定义和作为代数公式的运算程序，而是它所包含的统计意义。

单：在教学时不能只给出若干组数据，要求学生计算它们的平均数，也不能把数据的复杂程度、学生的计算速度和准确率作为教学的重点，而应该把初步理解平均数的意义作为教学的重点，理解平均数的意义、加深对平均数特点的了解，注重对其统计含义的理解，以及能够在新的问题情境中，准确地运用它去解决问题。下面，我们结合一个片断来讨论如何帮助学生理解平均数的概念。

案例15-2（上海黄浦区蓬莱路第二小学  单 方）（字幕）

单：这个教学片段探讨了两个问题，1．在计算一组数据的平均数时，不能删去该组数据中的零值资料，也就是说零值资料也要作为数据进行计算。2．平均数中表示人数时可以出现小数。平均数是统计学中最常用的统计量之一，是用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置，是描述数据集中趋势的统计量。它有两个作用：首先它为受过统计训练的人提供数据分布的初步印象，其次，由于大多数样本的平均数常用于估计相应的总体度量，所以平均数是推断性统计的主要成分。平均数只是一组数据的代表值，是虚拟的数。比如例题中一周借书情况，平均每天到图书馆借书人数是32.8人，并不是说真的有哪一天有32.8人到图书馆去借图了，这个32.8，只是这一周去借书的代表值。

佟：在数学课程标准（实验稿）中把对平均数的理解分成了两段，在中低年级学段要求通过丰富的实例理解平均数的意义，会求一组简单数据的平均数。而在高年级进一步认识平均数，除了会求一组数据的平均数外，还要求学生能对结果进行简单地解释，解释它的实际含义。平均数是一个“虚拟”的数，作为小学生，对平均数是“虚拟”的数这一点很难理解，因为“虚拟”的数很抽象。看不见摸不着。出现用小数来表示人数等在日常生活中不能用小数表示量的平均数，对学生理解平均数是一个虚拟的数是有帮助的。

单：平均数的概念在小学是借助平均分来理解的，但是它不是平均分。比如说20个草莓平均分给4个人，平均每人可以分几个？算式：20÷4=5（个），平均每人可以得到5个。这里的5个是指每人实际分得的个数！

再如小丁丁有3个草莓，小胖有4个草莓，小巧有6个，小亚有7个，平均每人有几个草莓？平均每人有5个草莓。这里的5就不是每人实际分得的个数，只是一个代表值，小胖、小丁丁、小巧、小亚四人中并没有任何一人是5个草莓，小朋友们原来有几个还是几个。

佟：有些教师在介绍平均数概念时，常使用这样的题材。

播放FLASH课件

佟：这个课件是教学中很多老师都用到的“移多补少”。在学生建立平均数是一个虚拟的数的概念之后，使用这个课件可以丰富学生平均数的计算策略。比如，有这样的3个数，79、80、81，我们怎样计算它们的平均数？完全可以从81中取1给79，从而快速计算这组数据的平均数是80。但是，在平均数概念形成的初期，使用这样的课件容易使学生产生平均数就是平均分的错误认识。虽然在低年级我们是借助平均分的概念讲述平均数的含义，但不论是否使用何种手段，都要让学生明白，平均数是一组数据的一个代表值，不是平均分的结果。否则出现用小数表示日常生活中不能用小数表示量的平均数，比如说人数的平均值、体重的平均值，学生就难以理解了。

单：为了丰富学生对平均数概念的理解，我们还可以设计以下的练习。

案例15-3（上海黄浦区蓬莱路第二小学  单 方）（字幕）

佟：这个教学片段渗透了平均数作为一组数据的代表值，是在描述这组数据时可以用的参考值，但是它反映的只是这组数据的一般情况，并不能反映出这组数据的个别情况。像教学片段中小胖班的平均身高为135厘米，小丁丁班的平均身高为140厘米。并不是说小胖的身高就是135厘米，小丁丁的身高就是140厘米。比较小胖和小丁丁到底谁高，使用这两组数据的平均数是不可能比较成功的。有可能出现三种情况，这在教学课堂中已经反映出来了。

单：我们学习平均数的最终目的是能够了解它并正确地使用它。平均数不仅可以用来描述一组资料的集中趋势，作为一组资料的代表值，用来比较不用样本数的两组同类数据，还可以通过部分数据的平均数来推测总体数据的情况。下面我们看一段有关《平均数的应用》的教学片段。

案例15-4（上海闵行区实验小学  山玲华）（字幕）

佟：从这个教学片段中，我们可以清楚地看到，学生能够较熟练地利用平均数比较不同样本数的两组同类数据。在学习利用部分数据的平均数来推测全体的数据的情况的时侯，教师通过问“为什么不用这一个星期的某一天来参观的人数来推测这个月来参观的人数？”通过这个提问，来引导学生感悟到考虑样本的必要性，通过学生的交流，使学生的认识有了提升：当使用部分数据的平均数去推测全体的情况时，能较好地推测这个月的参观人数。使学生理解可以利用部分数据的平均值（数）来推测全体数据的情况。最后，通过用步幅和步数来推测射击场长度的讨论。学生自己得出利用平均步幅和平均步数来推测射击场长度更合适，让学生初步体会推测中不同的策略的精确与粗略的相对性。使学生在学会平均数应用的同时，加深对平均数的认识。

单：在学习平均数的概念时，还有一个值得大家注意的，就是平均数受极端值的影响较大。就是说当一组数据中有个别数据偏大或偏小时，平均数不能很好地代表该组数据的总体水平。

（出示幻灯片）

比如说， A和B两名歌手参加歌唱比赛，五名裁判根据演唱水平、情感表达、音准、舞台表现等一些评分标准打分，满分100分。选手A的得分在屏幕上已经显现了，选手B的得分如下：（停3秒），他们两人谁演唱的更好？我们来计算平均分，A选手的平均分为96.4分，B选手的平均分为97分。我们再来看中位数，A选手的中位数是97分，B选手的中位数是96.5分。这样到底谁更好？我们到底用哪个指标来判定是A选手优秀，还是B选手优秀？我们注意到，A选手中有一个93分，这个分值比较低，B选手中有一个100分，分值比较高。比赛中，由于这样的极端数据对平均数的大小存在影响，为了更好地反映选手的演唱水平，我们就去掉一个最高分，一个最低分。A选手去掉最高分98分，去掉最低分93分，A选手的平均分为97分，B选手去掉最高分100分，最低分95分，B选手的平均分为96.67分。而这时A选手的中位数还是97分，B选手的中位数也还是96.5分。显然，A选手的演唱水平更好。通过这个例子的讨论，我们可以使学生明白，一组数据中的极端值对平均数是有影响的。具有极端值的这组数据的平均数不能很好地反映这组数据的总体情况。

（幻灯片结束）

佟：总之，在小学阶段我们主要从以下几个方面帮助学生来认识平均数。

（出示幻灯片）

平均数它等于一组数据的总和除以一（这）组数据的个数；平均数是一个“虚拟”的数，在计算人数等实际生活中不能用小数表示的量的平均数时，可能会出现小数形式；计算平均数时，不能删除该组数据[资]（删除）资料中的零值资料；可以使用平均数来比较不同样本数的两组同类数据；可以使用部分数据的平均数来推测总体数据的情况。

（幻灯片结束）

佟：在教学中过程，老师们可以结合本地的实际情况选择合适的素材进行教学。（插入作业：甲说：一个家庭的平均人口数是3.16人。乙说：小明走一步的平均距离是51厘米。丙说：全班的平均身高是143厘米。丁说：春游每人平均分摊28元。谁的说法是平均数的概念？谁的说法是平均分的概念？怎样使学生了解使用平均数来做为一组数据的代表数是有必要的？）今天我们的课就上到这里。谢谢大家！