谈列方程解决简单实际问题的教学

第9讲     谈列方程解决简单实际问题的教学

主讲：李新  中学高级教师、小学数学特级教师  江苏省吴江市实验小学

      王丹  中学高级教师  重庆市渝中区第二实验小学

李：各位老师，大家好，在这一讲里，我们将和大家一起讨论关于列方程解决实际问题的教学。

王：有的老师在学习《课程标准》时发现，在第一、二学段的内容标准中没有明确提出“列方程解决实际问题”的有关要求。我们的实际教学中，如何把握这方面的要求呢？

李：我也注意到了这一现象，《课程标准》（实验修订稿）当中关于“式与方程”的内容标准是：

（1）在具体情境中会用字母表示数。

（2）结合简单的实际情境，了解等量关系。

（3）了解方程的作用，能用方程表示简单情境中的等量关系。

（4）能解简单的方程（如3x＋2=5，2x－x=3）。

以上四项标准似乎没有提到“用列方程解决简单的实际问题”，但是，我们仔细分析第（3）、（4）点，第（3）点要使学生“了解方程的作用，能用方程表示简单情境中的等量关系”，第（4）点则要使学生“能解简单的方程”，我们想，针对简单的情境，找到等量关系，列出方程，再解方程，不正是用列方程的方法解决实际问题的基本步骤么？

王：另外，《课程标准》在课程目标的总目标中，关于“问题解决”有这样的阐述：使学生“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”列方程解决实际问题是解决问题的一种基本方法。

李：法国数学家笛卡儿曾经设想所谓的“万能方法”：第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。

事实上，虽然这种方法在某些情况下是不适用的，不能真正看成“万能方法”，但是，他所给出的是一种十分有用的数学思想，即对于某些问题，从分析数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过设元建立起方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式，这种数学思想就是方程思想。

王：所以，在教学中我们应该十分重视列方程解决实际问题，明确其教学目标，即通过列方程解决实际问题，使学生初步掌握分析数量间的相等关系（即等量关系）的方法，能根据等量关系列方程，并正确解方程，逐步向学生渗透方程思想。

李：是的，用列方程的方法解决实际问题，既能使学生加深理解方程的意义，巩固解方程的方法，又能丰富学生解决问题的策略，发展学生的方程思想。要实现这样的教学目标，在第一学段的教学中就应该作相应的渗透了。比如要使学生充分感悟和理解四则运算的意义、充分感悟和理解基本数量关系等。而“用字母表示数”的教学则是第一个关键。

王：确实是这样，在学生掌握了四则计算的意义、常见数量关系、运算律、周长与面积计算等知识的基础上，我们安排学生学习用字母表示数。通过字母表示数，更能概括地理解、表达和应用这些知识，并为以后教学有关方程的知识作必要的准备。

李：为了使这方面的准备做得充分，扎实，显性的，我们的教学要达到这样一些要求：

1．使学生初步理解并学会用字母表示数，会用含有字母的式子表示数量、数量关系和计算公式；初步学会根据字母所取的值，求简单的含有字母的式子的值；会化简形如“ax±bx”的式子。

2．使学生经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简洁与便利，发展符号感。

3．使学生在运用简单符号语言进行表达和交流的过程中，进一步体会数学与实际生活的密切联系，感受书写表达方式的严谨性、概括性和简洁性，增强对数学的好奇心和求知欲。

当然这些要求要在经过一定阶段的学习后才能达到。具体的，我们先来看一段录象，仔细体会老师是如何在第一课时中使学生达到其中的某些教学要求的。

案例9-1《用字母表示数》①（江苏南京市北京东路小学  中学高级教师  陈静）

李：从刚才老师这段录象中上，我们体会到了，学生学习用字母表示数，其关键是充分经历从数字表示数到用字母表示数，由日常语言表示数量关系到用符号语言表示数量关系的过程。

王：是的，用字母表示数这一内容看似浅显平淡，实则是学生学习数学的一次飞跃。学生以前所学的每个数都表示一个确定的值，用具体的数和运算符号所组成的式子，也只能表示个别的、具体的数量关系。而用字母则可以表示变化的数和抽象的数量关系式。老师在课中遵循学生的认知规律，精心创设情境，引导学生积极参与学习活动，实现了知识的自主探索与建构。

李：确实是这样。比如为了帮助学生正确建立用字母表示数的初步概念，教师精心创设了童话情境——“魔盒变数”，让学生感受随着输入的数不断变化，魔盒中输出的数也在变化，变化之中却又蕴涵着两个数之间一种不变关系。教师通过巧妙点拨，将学生的思考引向深入：“输入的数可以是任意的一个数，假如输入x，魔盒将会把它变成什么数呢？”在深刻理解了输入数与输出数的不变关系后，学生自然接受了用字母表示数和数量关系的方法，初步体会到用字母表示数是解决问题的需要，也是解决问题的方式。

王：就是说，魔盒的真正魔力在于使学生感受数量之间变与不变的辨证关系，实现从具体到抽象的飞跃。

李：对。学习用字母表示数是学生认识上的一次飞跃，这一飞跃过程还应该包含充分的应用与练习。下面我们继续看录象，分析本课老师是如何组织学生练习的。

案例9-2《用字母表示数》②（江苏南京市北京东路小学  中学高级教师  陈静）

王：我感觉本课的练习也是一大亮点。

在学生初步理解用字母表示数的方法后，教师引导学生回顾用字母表示运算律、图形面积、周长计算公式，再次体会用字母表示数的概括性和简洁性。

通过创设乐乐同学的生活情境，引导学生层层深入地练习，不断深化对用字母表示数的理解。

李：在“乐乐的数学日记”和“上学路线图”中，重在让学生了解用字母表示数的相对稳定性。在一个问题中，同一个字母只能表示同一个数 ，如果没有特殊说明，不同的字母一般指不同的数，并且这个数一旦确定就不可随意改变。并且再次让学生理解用字母表示数是有限制条件的，应结合具体的情境确定用字母表示数的范围。

王：在“乐乐在超市购物”中，重在让学生感受同一个情境中的字母式子可以表示不同的内涵，有多样化的理解。在“乐乐一家观看演出”中，重在让学生理解用含有字母的式子表示数量的不唯一性。用含有字母的式子可以表示数量和数量关系，但同一个字母可以表示不同的含义，所以同一个量也相应有不同的字母表达式。

李：我还觉得，乐乐同学的生活情境实际上是学生自己熟悉的生活写照，因而每个问题都使学生倍感亲切，发生强烈的思考愿望。在这些情境中所呈现的问题，又紧扣教学内容。通过这种具体多样的情境载体，给学生提供了将日常语言转化成数学语言，图形语言转化成符号语言的机会，有意识地培养学生借助抽象的符号语言反映数量关系或空间形式的能力。我相信，学生通过这样的学习、练习过程，一定能很好地形成用字母表示数的意识和能力。

王：刚才课上的老师，除了深刻理解教学内容，对教材进行灵活、恰当的教学处理，她的教学艺术也是十分精湛的。比如老师十分重视营造民主平等的教学氛围，教学的评价语言内容实在，关注对学习方法的引导，积极鼓励学生思考等，都值得我们教师学习。

李：刚才我们重点讨论了用字母表示数的教学。用字母表示数是学生学习方程的基础，基础扎实了，就可以进一步学习方程和用方程解决实际问题。但是在实际教学中，我听到还有的老师这样反映，说小学数学教学中让学生方程解决的问题都非常简单，特别是新学习列方程的方法解决实际问题时，所要解决的问题通常能用一步或两步算术方法解决，有些学生就不大愿意用方程方法去解决。那么，实际教学中，我们该如何解决这样的问题呢？

王：我也不止一次听到一个老师有这样的反映。我们觉得，针对这个问题，老师要有明确的认识，学习新的知识、方法，总是从简单到复杂，学列方程解决实际问题也是这样，总是从一步、两步的方程学起，而且，如果某个实际问题，按照顺向思路分析数量关系，适合用方程解答的，即使是一步、两步方程，相对于算术解法的逆向思路，也有其明显的优势。而正因为简单，学生既能用一步、两步的方程解决，又能用一步或两步的算术方法解答，就能让学生将两种方法对比，进一步体会方程方法对解答某些问题的适切性和优越性。

李：就是说，从解决简单的问题中学习方法，再应用于以后的学习或解决更复杂的问题。并且，在学习列方程解决实际问题时，加强算术方法和方程方法的对比，是很有利于学生形成方程思想的。

王：让学生掌握用方程的方法解决实际问题，

在实际教学中，主要应突出注意两点：

一是指导学生寻找数量间的相等关系，形成“等量意识”，这是正确列出方程的基础；二是引导学生自觉进行检验，形成“检验意识”，不仅检验求出的未知数的值是否是原方程的解，还要检验求出的方程的解是否符合实际问题的数量关系。

李：下面我们一起来看一段案例，然后具体探讨刚才的几个问题。

案例9-3《方程（二）》①（江苏镇江句容实验小学  严兵）

王：我注意到，一开始老师就让学生观察情境图，根据图中提供的信息，“找出紫峰大厦的高度和金陵饭店高度之间的相等关系”。老师为什么要这么做呢？

李：相等关系是一种数学模型，它把数量关系表达成等式。列算式解决实际问题要分析数量关系，这时的分析着眼于挖掘已知条件之间的联系，沟通已知与未知的联系，通常把条件作为一个方面，问题作为另一个方面，因而用已知数量组成的算式求得问题的答案。实际问题里的相等关系也是数量间的关系，它的最大特点是将已知与未知有机联系起来，通过已知数量与未知数量共同组成的等式，反映实际问题里最主要的数量关系。学生在以前学习一步方程时已经初步感受了相等关系，能找出简单问题的相等关系。现在寻找较复杂问题的相等关系，也是充分利用学生已有的知识经验。

王：列方程解决实际问题要找到相等关系，方程是依据相等关系列的。其实，某个实际问题是适合用列方程的方法解答还是适合算术方法解答，一般也是由问题所蕴涵的数量间的相等关系决定的。所以，老师们的教学，从引导学生找问题的相等关系入手，是非常适合的。

李：找数量间的相等关系这样重要，所以，老师不仅重视了它，还用了恰当的方法来引导学生去思考、寻找。比如，老师先提供了紫峰大厦和金陵饭店的实物图，形成非常直观的现实情境，并用文字表示了它们高度之间的关系：紫峰大厦高450米，比金陵饭店的5倍少73米，接着老师动态化地揭示了线段图，有效地引领了学生的思考。

王：今天学习的方程问题，我们习惯称为较复杂的问题。它之所以复杂，在于它的数量关系错综复杂。例题里紫峰大厦高度比金陵饭店的5倍少73米，其中既有倍数关系，也有相差关系，是两种关系的复合。

李：因此，找复杂问题的相等关系，要梳理数量关系，分清主次和先后。事实上，在第一学段，学生已经能解决类似“红花有10朵，求红花的2倍少4朵是几朵”的问题，对几倍少几这样的数量关系已有初步的理解。这样，有的学生就能利用已有的倍数概念和相差概念，通过推理，把“比金陵饭店的5倍少73米”改写成数学式子“金陵饭店高度×5－73”，从而得到数量的相等关系。而线段图的优点是直观形象，通过数形结合，把思维材料概括化，能引导学生思维，找到等量关系。

王：可能正因为有这样一幅直观形象的线段图，所以学生能找到几种不同等量关系。这里写不同的等量关系，不是为了让学生进行一题多解，而是重在让学生比较各种列方程的方法，体会它们在概念上的一致性。并且，通过比较，也能体会其中最基本的一个等量关系，列方程时思考比较顺，从而自觉应用这样的等量关系。这样的等量关系，相对用算术方法，就更容易思考，便于解决问题，也就能逐步形成自觉用方程解决问题的习惯。

李：我觉得课上老师的教学对我们如何培养学生的“检验意识”也作了很好的探索。首先把检验作为例题教学的组成部分，要先检验，再写答案。这是很好的示范。老师还重视了检验方法的指导，先让学生自主检验，形成多样化的检验方法，再交流，优化检验方法。其次，上课老师还在后来每个习题的解答、交流中都强调了检验，启发学生逐步养成自主、自觉检验的习惯。

王：当学生学习例题和练一练两个问题后，老师让学生比较两个题在解题思路等方面的共同点，有助于使学生体会列方程的方法对于解决这种问题的优越性。

李：对，通过比较，老师还和同学一起总结了列方程解决实际问题的基本步骤。下面我们再选取本课的一个练习片段做简要分析。

案例9-4《方程（二）》②（江苏镇江句容实验小学  严兵）

王：本课的练习也突出找等量关系这一重点。比如让学生写含有字母的式子。含有字母的式子是方程的重要组成部分，根据数量关系列方程时，都要写出含有字母的式子。是否具有用字母表示数的意识，能否顺利写出含有字母的式子，对列方程解答实际问题是至关重要的。

李：像练习一第2题写出表示梨树棵数的式子3x＋15，表示鳊鱼尾数的式子4x－80，都是解答几倍多几、几倍少几实际问题所需要的基本技能。安排写式练习，使学生进一步理解数量关系，养成顺着梨树比桃树的3倍多15棵、鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾这些数量关系进行思考，并转化成数学式子的习惯，从而选择最适当的相等关系解决实际问题。所以，这道练习题既是写式训练，也是思路引导。

王：需要指出的是，除了列方程解决实际问题，本课还有一个教学任务，就是教学解形如ax±b=c的方程，也就是说，本课是将解方程和列方程解决实际问题的教学融为一体，同步进行。解2x－22=64这个方程是新知识，用这个方程解决实际问题也是新知识。

李：这样，学生在本节课上既学习解方程的思路与方法，又学习根据相等关系列方程的思路与技巧。一方面是分析实际问题里的数量关系，抽象成方程，形成知识和技能的教学内容；另一方面，则是利用方程解决实际问题，使知识和技能的教学具有现实意义，成为数学思考、解决问题、情感态度有效发展的载体。

王：刚才我们主要探讨了本课在列方程解决实际问题方面值得学习、借鉴的地方，实际上，本课在教学解方程方面也有许多独到之处，老师们可以再去研究、分析和探讨。

李：总之，列方程解决实际问题的教学目标是培养学生的方程思想。在小学阶段，我们要从字母表示数开始，使学生自觉用字母或含有字母的式子表示数、数量、数量关系、公式、定律等，体会这样表示的意义和优点，在适当的时候，能把字母或含有字母的式子和已知数量一起参与分析、思考、推理；还要使学生善于根据已知条件，寻找数量的相等关系，对于适合列方程解决的问题，能根据等量关系正确地列方程，解方程，并自觉检验。这样，就可以认为在我们小学阶段已经为学生方程思想的发展奠定了基础。作业:（任选一题）

1.“用字母表示数”的教学对初步渗透方程思想有什么意义？请选一教学内容做一份教学设计。

2.列方程解决实际问题教学中如何引导学生分析数量间的相等关系？请选一教学内容做一份教学设计。

今天这一讲的交流就到这里，谢谢大家，再见。