长度的度量

第11讲  长度的度量

主讲：黄建弘  数学特级教师        上海师资培训中心实验基地

      张叶清  中学数学高级教师    上海师范专科学校附属小学

      宋永福  中学数学一级教师    上海师资培训中心实验基地（字幕）

黄：各位教师大家好！今天我们讨论的课题是“长度的度量”。

宋：大家知道，几何起源于古埃及对土地的丈量。由于古埃及尼罗河年年泛滥，每次泛滥后都需要重新丈量土地，萌发了最初的几何学。

黄：因此，测量在几何学中有重要的地位。而长度的测量是中小学几何测量的基础，今天我们就来讲一讲这个课题。 生活中有六种常用的量，是可以用感官和工具来测定的，包括长度、重量、容量、角度、面积、体积。这些量的测定有两种，一种是定性分析，一种是定量分析。定性分析就是回答“谁长？谁短？”，而定量分析是回答“他们各有多长？”。儿童在测定量的时候常常会经历直接比较和间接比较这两个阶段。从思维上讲，这两个阶段既是区分的，又不是完全割裂的。

宋：这些量的测定就是我们小学里常说的度量。

张：黄老师，在小学阶段应该如何帮助学生进行长度的度量呢？

黄：长度的度量是可以用感官和工具来测定的，从思维发展来说，

长度度量的几个阶段：

第一个阶段，长度的初步感知；

第二个阶段，长度的直接比较；

第三个阶段，长度的间接比较；

第四个阶段，用统一的单位来比较；

第五个阶段，长度单位概念体系的形成。

宋：黄老师，请您再具体地谈一谈教师应该如何帮助儿童经历这几个阶段。

黄：首先要帮助学生形成对长度的初步感知。实际上小学生在生活中很早就有了“长”与“短”的经验。小学生能够通过视觉来比较物体的长短，这也就是定性分析。

例如

比较图中操场上旗杆的长短和四位小朋友的身高。在左边的图中，提出的问题是，哪一面旗子最高？在右边的图中，提出的问题是谁最高？谁最矮？按身高将名次排出来。

现在，孩子们很容易地就把旗杆的长短区分了出来。（课件）

现在，孩子们也很容易就把四位小朋友的高矮（长短）区分了出来。宋老师，你看看，这两道题的关键在哪里？

宋：大家在课件中可以看到，这些旗杆、学生都是在同一根线上的。

张：这里，学生已经能够通过视觉比较出对象的长短，说明他们已经初步形成了长度的概念。

黄：现在学生已经初步形成了长度的概念，接下来我们要创造条件，让儿童能够进行长度的直接比较，

图中有三根长短不一的跳绳，现在的问题是哪根最长？哪根最短？教师要帮助学生注意，在比较的时候要将三根跳绳的一端都对齐。现在这三位小朋友可以说谁的跳绳最长，谁的跳绳最短了，这就是直接比较。再例如，让学生拿出所有的铅笔，比一比哪一根最长？拿出所有的书，看哪本最厚？

下面的图中有一张明信片，明信片是横长还是竖长呢，学生通过折叠以后就可以比较出，是横的一边长还是竖的一边长。

上述活动都是直接比较。

宋：有的情况下，物体不能直接比较，怎么办？比如说小胖和小丁丁家里的餐桌比长短，就不方便放到一起来直接比较。

黄：那就只能进行间接比较了。可以用一条绳子按小胖家中餐桌的长度截下来，再到小丁丁家用这根绳子与餐桌的长进行比较。

张：到这里学生已有了直接比较的经验，该如何过渡到间接比较呢？

黄：现在我们来展示如何过渡。

这张图的背景都是方格，提出的问题是在方格纸上比较长度，学生可以通过数方格来确定铅笔是最长的，为什么呢？因为它一共占了17格。橡皮和铅笔刀是最短的，因为它们只占了4格。从这里开始，学生的思维从直接比较过渡到了间接比较。

张：学生已经能够通过方格的个数来确定对象的长短，实际上他已经进入了定量比较。现在在教师的帮助下，学生的思维已经进入了间接比较。

黄：间接比较的关键是找到量具，找量具的过程可以分成两个阶段：

第一阶段就是找身边的东西，例如脚步，小胖就在用脚步{在（删）}量教室的长，脚底、拃或小木棍来量物体的长度。

用脚步可以量教室、量走廊、量体操房，量校舍，量校园的长度；

用脚底可以量门宽，橱宽，走廊宽；

用拃可以量课桌，图画，窗台，黑板，饭桌等。

少部分学生由于生活当中已经有了用尺来量东西的经验，例如他看见过他的父母是用尺来量东西的，他会直接用尺来量，但他对尺的含义与刻度往往没有深入的理解。

由于学生各人的脚步、脚底、拃或找到的小木棍长短是不一样的，所以对同一物体量得的数据是不一样的，学生就会提出疑问：为什么不一样？上面这幅图是教师让同学用拃来量讲台，最后量出的结果是不一样的，学生就产生了疑问，为什么不一样？这时候教师就可以很自然地引导学生去找统一的度量工具。

宋：一般地讲，“拃”是指大拇指到中指或到小拇指的长度。但是我们发现小学生在实际操作中感到困难，为了让小学生更易于操作，这里采用了从大拇指到食指的长度。

黄：找量具的第二个阶段在这里就是让学生找到或发现统一的度量单位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺来量东西。

学生在这里还要认识“尺”，对尺上的刻度进行分析和理解。这里学生首次形成了长度单位的概念，随着学生学习的发展，逐步建立长度单位的概念体系。

我们从上图中可以发现，原来对课桌椅，不同的学生用拃去量，得到的结果是不同的，现在不同的学生用厘米尺或卷尺去量，量出来是一样的，都是60厘米，这个例子就生动地让孩子们知道，要用统一的度量单位去量物体的长短。

这里展示的就是卷尺。

宋：俗话说，说说容易，做做难，张老师，听说你有一节关于度量的课获得全国录像课一等奖，能不能在这里给我们展示一下。

张：好，我今天展示的教学片断是《度量》，它的前一节课是《长度比较》的学习，学生在《长度比较》这节课中，已经建立了对长、短概念的初步认识，并会对具体的物体直接比较它们的长短。

在《长度比较》这节课的最后，利用方格纸来比较学习用品的长短，这个环节就是为学生从定性比较转入定量比较做的铺垫。学生在《度量》这节课中，我的主要任务是帮助学生找到统一量具（厘米尺或卷尺）进行定量比较，从而得到量数，来表达长度比较的结果。

教学的主要过程是帮助学生逐步找到量具、认识量具及其简单的使用方法。首先了解到人体上有很多有用的量具，并且学习了选用这些量具去量实物，但不同的学生量出来的结果不同，有些学生量出来的结果是10拃，有的学生量出来的是12拃，这样就引发了认知冲突，然后我因势利导用统一的量具厘米尺去量物体的长度，最后学生得到了相同的结果，并认识了量具厘米尺。

在这节课中，我还充分利用多媒体，运用实物、图形，让学生在量一量、比一比、动一动等实践操作活动中，积累感性知识。

教学中强调在教师的引导下，以学生的自主探索、小组合作与交流为主的教学模式。

突出学生的主体地位，引导学生主动参与教学过程，从而理解和掌握基本的数学知识、技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，发展学生的思维能力。

接下来，先请大家观看教学片断。

    案例11—1（上海师范专科学校附属小学  张叶清）（字幕）

宋：通过这个教学片断，可以看出张老师从一开始就注重如何创设一个丰富的学习氛围，充分激发学生的学习兴趣。

张：我也是这样思考的：兴趣是最好的老师，学生主动学习和被动学习的效果大不一样。要使教学工作事半功倍，就必须努力培养学生学习的主动性。小学生的心理特点是好动、好奇，遇到新鲜事物，习惯动手试一试。

因此在教学时，教师不能只重视结果而忽视过程。对小学生来说，仅仅借助语言、文字来理解基本概念存在一定的困难。课堂上教师应该尽量利用一切条件，展示相应的直观教具、学具，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生亲自动手，摸一摸、摆一摆、做一做，指导他们仔细观察，引导学生从操作中获得新知。这样既能活跃课堂气氛，又能激发起学生的求知欲，教学效果比较好。

黄：张老师说得非常好！小学阶段处于经验阶段，抽象必须小心翼翼地进行。教师在这里的主要任务是帮助学生完成这个过程，要用小步子来进行。

在呈现这个抽象的过程的时候，应该按照学生的心理发展的特点，构建生动活泼的、学生熟悉的情景，让学生亲身经历，体验知识的发生、发展的过程。

宋：通过生动的游戏活动，能营造愉快的学习气氛，鼓励学生主动参与，激发浓厚的学习兴趣。所以在教学中，如能根据教学内容，有机地设计丰富多彩的游戏活动，能使学生学习得更好。

这节课的一开始，张老师在课的导入部分，利用古代的小篆的“尺”字，利用“猜字谜”这一情境导入新课，引起学生探究的兴趣，而后让学生通过丰富的联想意识，了解到人体上有很多“尺”。最后给学生介绍古今中外有关“尺”的来源，激发学生的学习积极性。

张：接下来，让我们继续观看下面一个教学片断：

案例11—2（上海师范专科学校附属小学  张叶清）（字幕）

宋：在数学课堂中结合具体的教学内容，适时的让学生动手操作是非常重要的。

黄：在这个教学环节中，张老师提供了让学生自主探索，充分从事数学活动的机会：

一、让学生伸出右手，运用古人的方法和老师一起来量一量课桌的长度。

二、通过量彩纸长度的教学环节，生生互动，让学生相互之间学习尺的使用方法。

三、让学生用米尺来量课桌的长度。

张：当然，黄老师，在后面的教学环节中，我还有类似的动手操作，例如让学生度量“身上的尺”的长度还有“测量身边实物的长度”等。

宋：这样的教学设计，使学生在丰富的感性认识基础上上升到了理性的思考，在主动的操作活动中构建完整的认知结构。这里，让学生体会建立统一度量单位的重要性是度量教学中最重要的一个环节。

黄：这个环节中，学生通过实际的操作，自己去探索、去发现，体验解决问题的过程。由于测量结果的不同，引发了学生的认知冲突，使得学生产生探索知识奥秘的欲望。

这些情境的创设，包括后面的在探究练习中“度量教室中的实物”和“度量身上的指宽、脚底和脚步”等活动。学生的主体地位得到了尊重，从被动接受知识转为主动地探索，学生学习的过程变得精彩而不再枯燥无味。使学生获得了广泛的数学活动的经验，并且营造了民主、平等、宽松、和谐的学习气氛。

张：老师们，接下来让（请）我们继续观看教学片断：

    案例11—3（上海师范专科学校附属小学  张叶清）（字幕）

张：小学数学教学中应该重视数学教学与生活的联系。数学教学要让学生学习有价值的数学和必需的数学，就必须联系学生的生活，使学生感到数学与生活密不可分，数学是生动的、有趣的，而不是单调的、枯燥的。

我的设计意图是：课的导入部分“猜字谜”，到课中间的“成语故事”，以及最后练习中的“测量身边事物”，还有“经历用不同方式测量物体长度的过程”等，都是把数学和日常生活联系在一起。

宋：张老师这样的设计，对激发学生学数学的积极性和学好、用好数学的自信心都起到了有效的推动作用。数学可以帮助人们辩证地、定量地认识自然和人类社会，对学生更好地适应日常生活，理解周围世界是有帮助的。

黄：让学生体验数学的价值，增进对数学的理解和应用数学去解决实际问题的信心，学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活当中的问题，这样有利于培养学生勇于探索，勇于创新的科学精神。

张：这节课我还注重运用“多媒体”来帮助学生获取数学知识。“多媒体”具有文字、图片、动画、声音、图像等直观媒体信息可同步进行的优点。在同一屏幕上同时显示相关的文本、图像或动画，这是其它教学媒体无法达到的。

教学中，若能充分利用这一优点，变抽象为直观，变静为动，通过向学生展示教学情境，呈现思维过程，提供丰富的感知、表象，构成一个活跃的“思维场”，为学生实现由具体感知到抽象思维的飞跃架设了一座桥梁。

宋：对，既贴近学生生活，又能够体现数学学习过程，并且使用得当的现代教学媒体，会给学生的学习活动带来一系列的良好变化，可以提高和促进学习。

本节课从始至终都用丰富的“多媒体”课件陪伴学生学习的过程，例如介绍世界其他各国的度量方法，“郑人买履”成语故事等环节，使学生在欢乐的气氛中，乐学、想学、勤学、有创造性地学，保证素质教育在课堂教学中的有效实施。

黄：我们这一讲主要是介绍了教师如何帮助学生建立关于长度的认知结构，并让学生体验统一的度量单位的产生的过程。关于教学实录当中的各个具体环节，各位老师可以根据自己的具体情况做出合理的、有效的设计。

    这一讲就讲到这里，谢谢大家！